Pocházel z původně selské rodiny Sporcků (Šporků), která byla povýšena do hraběcího stavu teprve r. 1664 díky odvaze jeho otce Jana Sporcka, který jako mladý vstoupil do armády. Otec se v habsburské císařské armádě nejvíce vyznamenal během bojů proti Turkům. Získané jmění rozšiřoval a přikoupil panství Lysá nad Labem, sousední panství a postupně další statky. Po jeho smrti byl František Antonín pánem Malešova, Lysé nad Labem, Kuksu, Konojed, Choustníkova Hradiště a Heřmanic.

Jako mladý usiloval o světské tituly. Chtěl se ve všem vyrovnat staré rodové šlechtě, která mu ovšem vždy dávala najevo, že mezi ni kvůli svému příliš čerstvému erbu nepatří.

Roku 1690 byl jmenován komořím, rok nato jedním z místodržitelů a roku 1692 „skutečným tajným radou“. V rámci snahy o své zviditelnění založil například i tzv. řád sv. Huberta, loveckého bratrstva k povznesení lovu.

František Antonín hrabě Špork byl také milovníkem a „mecenášem umění“. Přivedl do Čech významné umělce (sochaře Matyáše Bernarda Brauna a rytce Michaela Heinricha Rentze), zakládal knihovny a divadla.

Z Francie nechal Špork dovést do střední Evropy lesní roh, založil v Lysé školu hry na tento nástroj, který se poté stal součástí zejména lovecké hudby v Čechách.

Ač vychován jezuity, ve svém životě vystupoval hrabě jako ostrý kritik společenských a náboženských poměrů monarchie a jako zastánce myšlenek náboženské tolerance a stoupenec jansenismu. Tímto postojem se dostal do konfliktu nejen s jezuitským řádem, ale i s dalšími ochránci bigotního katolictví.

Na podporu těchto myšlenkových proudů vydával knihy ve své soukromé tiskárně v Lysé nad Labem.

František Antonín se v roce 1686 oženil s dvacetiletou Františkou Apollonií, rozenou von Swéerts zu Reist (1667–1726). Ze šťastného manželství se narodily tři děti: dcery Eleonora Františka (1687–1717) a Anna Kateřina (1689–1754) a syn Jan František Antonín Josef Adam (narozen 1699), který však zemřel ve věku necelých dvou měsíců.

V roce 1718 hrabě Špork přijal za adoptivního syna Františka Karla Rudolfa ze Swéerts-Reistu, manžela své dcery Anny Kateřiny, který se stal spolu se svou manželkou dědicem šporkovského majetku a nositelem spojeného rodového jména Swéerts-Sporck.

Zemřel 30. března 1738 v Lysé a byl s velkou okázalostí pohřben v rodinné hrobce v Kuksu.